数字图像处理——图像分割（二）——更先进的边缘检测算子

#数字图像处理——图像分割（二）——更先进的边缘检测算子

图像分割技术的重要性毋庸置疑，图像分割系列传送门：

1. [基本的边缘检测梯度算子（Sobel、Prewitt、Roberts）](http://studyai.com/article/9eff68fe "基本的边缘检测梯度算子（Sobel、Prewitt、Roberts）")
2. [更先进的LoG算子和Canny算子](http://studyai.com/article/1b7de984 "更先进的LoG算子和Canny算子")
3. [霍夫变换](http://studyai.com/article/44fb6e21 "霍夫变换")
4. [阈值处理](http://studyai.com/article/3f7b3681 "阈值处理")
5. [分水岭算法（含系列总结）](http://studyai.com/article/01b330f7 "分水岭算法")

主要的学习资料，冈萨雷斯——数字图像处理，实现——Matlab。

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##LoG滤波器

基本的边缘检测算子是以用一个或多个模版对图像进行滤波为基础的，而未对图像特性和内容采取预防措施。更先进的边缘检测技术，则尝试考虑诸如图像噪声和边缘本身特性的因素改进简单的边缘检测方法。简单的边缘检测算子最显著的特点是能够计算图像中每一点处的一阶导数或二阶导数的近似微分。更先进的概念则是希望算子能够被“调整”以便在任何期望的尺寸上起作用，因此，大的算子可以用于检测模糊边缘，小的算子可以用于检测锐度集中的精细细节。

已被论证的是满足这些条件最令人满意的算子是∇^2 G。它表示的是二维高斯函数的拉普拉斯变换，其表达式LoG为：
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下图显示了高斯拉普拉斯函数的相关概念，以及一个5×5的近似模版。这个近似并不是唯一的，其目的是为了获取LoG的基本形状：正的中心项由紧邻的负区域包围着，中心项的值与模板的大小相关；模板系数之和为零，从而模板的响应在恒定灰度区域为零。

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任意尺寸的模板可以直接对LoG函数的取样并标定相应的系数以使之系数之和为零来生成。另一种更有效的方法是以期望的n×n尺寸对高斯函数取样，然后取样阵列与一个拉普拉斯模板进行卷积。这种方法也自动满足LoG滤波器系数之和为零的要求，因为用一个系数之和为零的模板对阵列卷积产生一个元素之和也为零的结果。下图即证明了高斯函数的拉普拉斯变换为零。

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选择LoG算子主要基于它的两个基本概念。第一，算子的高斯部分会模糊图像，从而在相应尺寸上将结构的灰度（包括噪声）讲到远低于σ的程度。与均值模糊不同的是高斯函数在空域和频域都能平滑图像，因此引入人为干扰的可能性很小。另一方面则涉及滤波器的二阶导数部分。拉普拉斯有各向同性的特点，不仅符合人的视觉系统特性，而且对任何模板方向的灰度变化有相等的响应，从而避免了使用多个模板去计算图像中目标点处的最强响应。

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由此，LoG滤波器可小结如下：第一，用期望的尺寸n×n对高斯函数取样，取样得到的高斯低通滤波器对输入图像滤波。第二，计算第一步得到的图像的拉普拉斯。第三，找到步骤2所得图像的零交叉。
高斯滤波器的大小，采用位于二维表面下其均值在±3σ之间的99.7%。作为一种经验法则，一个大小为n×n的LoG离散滤波器，其n值应是大于等于6σ的最小奇整数。n值过小会“截断”LoG函数，n值较大对结果的影响不大。

滤波后的图像g（x，y）的任意像素p处，寻找零交叉的一种方法是用以p为中心的一个3×3邻域。p处零交叉意味着至少有两个相对的邻域像素的符号不同。有四种要测试的情况，上下左右及两个对角。通常情况下，不仅相对邻域的符号不同，而且要求它们的像素差的绝对值还必须超过某个阈值。这时，我们称p为一个零交叉像素。

下图显示了edge函数使用LoG默认参数和高阈值参数下的处理结果，所有的边缘形成了一个闭环，表现出所谓的“意大利通心粉效应”，这是使用零交叉方法的严重缺点。

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##Canny边缘检测器

Canny算法基于三个基本目标：第一，低错误率。所有的边缘都应被找到，并且应该没有伪响应。第二，边缘点应该被很好得定位。第三，单一的边缘点响应。

坎尼的工作的本质是从数学上表达了前面三个准则，并试图找到这些表达式的最佳解。但是寻找一个满足前述目标、严格形式的解是很困难（或不可能的）。在使用基本的边缘检测算子时，寻找最佳解的过程需要在所有可能的方向计算某点像素的梯度幅度及梯度方向，以此来寻找最佳响应。换句话说，因为预先法线方向未知，所以要求在所有可能的方向上应用一维边缘检测器。这一任务可由如下方法来近似：首先使用一个环形二维高斯函数平滑图像，计算结果梯度，然后使用梯度幅度和方向来估计每一点处的边缘强度和方向。（Canny证明，使用高斯近似与使用最优数值解相比，所得结果仅差约20%。这种幅度差在多数应用中通常是难以察觉的。）

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其中，卷积的实现是使用一个大小为n×n的高斯模板实现，其大小与LoG算子中使用的经验相同，为大于等于6σ的最小奇整数。g_x=(∂f_s)⁄∂x  g_y=(∂f_s)⁄∂y , 也可以通过其他任何滤波器的模板来得到g_x和g_y。

因为它是使用梯度产生的，典型的，M(x,y)在局部最大值周围通常包含更宽的范围。下一步就是细化那些边缘，使用的方法是非最大抑制。该方法的本质是指定边缘法线的许多离散方向。当我们定义了四个方向（水平、垂直和±45°）时，就必须把所有可能的边缘量化为四个方向，故必须定义一个方向范围来表示这四个方向，如下图所示。

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图例中，由于其边缘法线在水平边缘方向定义的范围内，所以它被定义为水平边缘。

非最大抑制方案的实质就是，已知梯度方向和边缘方向是垂直的，在梯度方向上抑制边缘的宽度，从而获得单像素边缘。具体步骤：第一，通过不同方向的范围确定某点处α(x,y)的方向d。第二，沿着方向d对该点处M(x,y)进行非最大抑制的判定。判定的依据是在以该点为中心的3×3区域内，如果M(x,y)的值至少小于沿着方向d的两个邻居之一，则令该点像素g_N (x,y)=0（抑制）；否则令g_N (x,y)=M(x,y)，这里的g_N (x,y)就是非最大抑制后的图像。图像g_N (x,y)仅包含细化后的边缘，抑制了非最大边缘点的M(x,y)。

最后的操作是对g_N (x,y)进行阈值处理，以便减少伪边缘。Canny算法使用两个阈值。一个低阈值TL和一个高阈值TH。通过两个阈值可以由g_N (x,y)创建两幅图像g_NL (x,y)和g_NH (x,y)。

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g_NH (x,y)和g_NL (x,y)中的非零像素可以分别看成是“强”和“弱”边缘像素。g_NH (x,y) “强”边缘像素被假定为有效的边缘像素，并被立即标记。g_NH (x,y)中的边缘通常会存在缝隙，边缘的连接用下列步骤形成：
1. 在g_NH (x,y)中定位下一个未被访问的边缘像素p
2. 在g_NL (x,y)中的弱像素可以8连通的连接到p则标记为有效边缘像素
3. 如果g_NH (x,y)中的所有非零像素已被访问，则跳到4；否则，返回1
4. 将g_NL (x,y)中未标记为有效边缘像素的所有像素置为零
5. 最后将g_NL (x,y)中的所有非零像素附加到g_NH (x,y)，形成最终的输出图像

总结一下，Canny边缘检测算法的基本步骤如下:
1.	用一个高斯滤波器平滑输出图像
2.	计算梯度幅值图像和角度图像
3.	对梯度幅值图像进行非最大抑制产生单像素边缘
4.	用双阈值处理和连接分析来检测并连接边缘

下图显示了edge函数Canny算子默认参数和优化参数的处理结果。

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很明显，Canny图像抑制了更多的无关特性，而且检测到了正门左侧的边缘；这条边缘在其他方法中都没有检测出来。在滤除无关细节方面，Canny图像确实不包括由瓦片和砖块引起的单个边缘。Canny图像在连续性、细度和笔直度等显得质量也很出众，这使得Canny算法成为边缘检测的首选工具。